受験百景

「受験」や「入試問題」に関係する話、日々の雑感を様々な視点から書いています

PK戦 / 2019年 関西医科大(後期)

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2019年 関西医科大(後期)数学 大問3の問題です。

 

時間がある人は答えを見る前に考えてみてください。

 


A,B の2 チームが対戦するある競技では,次のような方法でチームの勝ち負けを決定する。

 

競技の概要:

両チームにはそれぞれ5 人の競技者がおり,1 人ずつ交互に各々1 回ずつ試行を行い,それぞれ成功と失敗が決まる。A チームの競技者は奇数番目に,B チームの競技者は偶数番目に試行する。なお一人の競技者は1 回しか試行できない。

勝敗の決定:

成功した試行数の多いチームが勝ちチーム,少ないチームが負けチームとなる。なお,全員の試行が終了した時点で,成功した試行数が両チーム同数の場合は,引き分けとする。ただし,両チームすべての競技者の試行が失敗した場合も,引き分けとする。

特別事項:

ある試行が終了した時点で,それよりも後の試行の結果にかかわらず両チームの勝ち負けが確定する場合には,それよりも後の試行を行わない。

 

一人の競技者が試行に成功する確率を \displaystyle \frac{1}{2}とするとき,以下の問に答えよ。

 

(1) 最も少ない試行数で勝ち負けが確定するのは,両チームあわせて何番目の競技者の試行が終了した時点かを答えよ。またそれが起こる確率を求めよ。

(2) 7 番目の競技者が試行を終了した時点で勝ち負けが確定する確率を求めよ。

(3) 9 番目の競技者が試行を終了した時点で勝ち負けが確定するときに,A チームが勝ちチームとなる条件付き確率を求めよ。

(4)引き分けとなる確率を求めよ。


 

 

 

それでは解き進めてみましょう。

 

簡単に言えば、「強さが同じAとBの2チームがサッカーのPK戦をするときの確率を考えてみてね!」ということです。

 

サッカーのPK戦を見るときに、どこに着目するでしょうか?

 

どの選手が入れたか、外したかも大切ですが、「その時点でどれだけ差がついているか」が最も大切な要素です。例えば、成功を「○」、失敗を「×」で表すとして、次のような途中経過になったとします。

A  
B  

 

これを見て、Aが「2回」分だけ不利になっているなぁと感じるわけです。(最後でAが入れて、Bが外さないとAチームは負けてしまうわけです。)
PK戦の本質は得点の「差」なのです。

 

それを踏まえて、この問題を考えてみましょう。

 

Aがどれだけ有利になっているかという得点差をSとします。Aが成功したら「+1」、失敗したら「-1」を加え、Bが成功したら「-1」、失敗したら「+1」を加えることにします。もちろん、スタートの段階でSは0です。

 

上の例では、Sは2回目までで「-2」、4回目までで「0」、6回目までで「0」、8回目までで「-2」となっています。6回目終了の段階では両者互角ですが、8回目終了の段階ではBが有利になっているわけです。

 

各設問を考えてみます。

 

(1) 最も少ない試合数になるのは、「Aが成功し続けて、Bが失敗し続ける」もしくは「Aが失敗し続けて、Bが成功し続ける」のどちらかです。

A    
B    

このように6回目終了時点でAの勝利が確定します。Aが成功する確率が \displaystyle \frac{1}{2}、Bが失敗する確率が \displaystyle \frac{1}{2}なので、この確率は \displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^6です。もちろんBの勝利が確定する場合も同様です。

答えは、 \displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^6\times 2=\frac{1}{32}となります。

 

(2)まずは具体例で考えてみましょう。7番目が終了した時点でAの勝ちが確定するのは、例えば、次のような場合です。

A  
B    

6回目までで、「+1」が5回、「-1」が1回が起きて、さらに7回目でAが成功するとAの勝ちが確定します。6回目までの『「+1」:5回、「-1」:1回』の起きる順番は関係なく、全部で \rm{_6 C_1}通りあります。この確率は \displaystyle \rm{_6 C_1} \left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2}\right)\times \frac{1}{2}です。

Bの勝利が確定する場合も同様なので、答えは、 \displaystyle \rm{_6 C_1} \left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2}\right)\times \frac{1}{2}\times 2=\frac{3}{32}となります。

 

(3) 9番目が終了した時点で勝ち負けが確定するということは、引き分けではないということです。この対戦ではAとBは同じ強さなので、Aが勝つ確率は \displaystyle \frac{1}{2}です。

 

(4)引き分けとなるのは、10回目までで、「+1」が5回、「-1」が5回が起きるときなので、答えは、 \displaystyle \rm{_{10} C_5} \left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{63}{256}です。

 

以上のように、本質をつかむとあっという間に解けてしまいます。

PK戦を題材にした面白い問題でした。

 

〈参考〉

このような工夫をせずに、場合分けして解いていく解答は医学部進学予備校メビオが公開しています。こちらも参考にしてください。

https://www.mebio.co.jp/files/answer/2019/M_kanni_2019B.pdf

 

よこはまには、二十三時五十三分

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2018年 筑波大学附属駒場中学 国語の問題です。

東大名誉教授の藤井貞和先生の「あけがたには」という詩が題材となっています。素晴らしい詩なので、引用させていただきます。まずは読んでみましょう。

 

あけがたには

夜汽車のなかを風が吹いていました
ふしぎな車内放送が風をつたって聞こえます
……よこはまには、二十三時五十三分
とつかが、零時五分
おおふな、零時十二分
ふじさわは、零時十七分
つじどうに、零時二十一分
ちがさきへ、零時二十五分
ひらつかで、零時三十一分
おおいそを、零時三十五分
にのみやでは、零時四十一分
こうずちゃく、零時四十五分
かものみやが、零時四十九分
おだわらを、零時五十三分
…………
ああ、この乗務車掌さんはわたしだ、日本語を
苦しんでいる、いや、日本語で苦しんでいる
日本語が、苦しんでいる
わたくしは眼を抑えて小さくなっていました
あけがたには、なごやにつきます

藤井貞和『ピューリファイ!』)

 

いかがでしょうか。

「詩」は難解というイメージがありますが、これは面白い。この詩は目で見ても声に出しても楽しめます。こういうのを「声に出して読みたい日本語」というのでしょうか。

 

よこはまには、二十三時五十三分
とつか、零時五分
おおふな、零時十二分
ふじさわ、零時十七分
つじどう、零時二十一分
ちがさき、零時二十五分
ひらつか、零時三十一分
おおいそ、零時三十五分
にのみやでは、零時四十一分
こうずちゃく、零時四十五分
かものみや、零時四十九分
おだわら、零時五十三分

というように、言葉を使い分けているところに面白さがあります。

 

乗務車掌さんが苦しみながら、日本語を選択しています。日本語のプロである「わたし」も同じ経験を何度となく重ねてきたのでしょう。

 

さらにその内容を日本語で表現するために

「日本語苦しんでいる」

「日本語苦しんでいる」

「日本語苦しんでいる」

のどれを使うのか悩んでいます。

 

車掌さんはうまくできているのに、自分はできない。そんな思いをかかえて「眼を抑えて小さくなって」いたのです。

 

筑駒は次のような設問をつけて、これらの理解を試しています。

問一 「ふしぎな車内放送」とありますが、どういうことが「ふしぎ」なのですか。

 

問二 「ああ、この乗務車掌さんはわたしだ」とは、どういうことですか。

 

問三 「わたくしは眼を抑えて小さくなっていました」とありますが、なぜですか。

 

 

設問では扱われていませんが、駅名が「ひらがな」になっているのも趣深いです。漢字にしてしまうと雰囲気がガラッと変わります。

あけがたには

夜汽車のなかを風が吹いていました
ふしぎな車内放送が風をつたって聞こえます
……横浜には、二十三時五十三分
戸塚が、零時五分
大船、零時十二分
藤沢は、零時十七分
辻堂に、零時二十一分
茅ヶ崎へ、零時二十五分
平塚で、零時三十一分
大磯を、零時三十五分
二宮では、零時四十一分
国府津着、零時四十五分
鴨宮が、零時四十九分
小田原を、零時五十三分
…………
ああ、この乗務車掌さんはわたしだ、日本語を
苦しんでいる、いや、日本語で苦しんでいる
日本語が、苦しんでいる
わたくしは眼を抑えて小さくなっていました
あけがたには、名古屋につきます

 

 

どんな題材を入試問題にするのかを見ると、その学校のレベルが分かります。偏差値では測れない微妙な差も入試問題から感じ取ることができます。偏差値ではなく、「過去問」で志望校を決めるという風潮が広がってほしいものです。「入試問題が面白いから」という理由で行く学校を決めるのもありではないでしょうか。

 

 

入試問題鑑賞『なぜ、「夕焼けは晴れ、朝焼けは雨」なのか。』

 

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2000年 東京大学(前期日程)地学 大問2です。

  


あなたの気象の知識を使って、以下の疑問に、それぞれ50字以上100字以内で解答を与えよ。

問1 なぜ、「夕焼けは晴れ、朝焼けは雨」なのか。

問2 なぜ、晴れた夜は冷え込むのか。

問3 なぜ、山の天気は平野の天気より変わりやすいのか。

問4 地球表面の7割は海面で、海面から絶えず水蒸気が蒸発しているのに、なぜ大気全体が水蒸気で飽和しないのか。

問5 ロンドン(北緯51度)より札幌(北緯43度)の緯度が低いのに、なぜ、ロンドンの冬(1月の平均気温は+3.8℃)のほうが札幌の冬(1月の平均気温は-4.6℃)より暖かいのか。


 

日常の疑問を入試問題にした、東大らしい問題です。

 

見た目が面白い入試問題を紹介することが目的で、この問題を解くことが目的ではないですが、答えが気になるかも知れないので、考え方の概略を述べておきます。

 

問1:天気が西から東に移動していくことを用いて考えます。「夕焼け」は太陽が沈む西に雲がないことを示すので、翌日の天気は晴れになると予測できます。また、「朝焼け」は東に雲がない(≒西に雲がある)ことを示すので、天気は悪くなっていくと予測できます。

問2:晴れた夜は雲がなく、水蒸気が少ない状態です。そのため、地表から跳ね返った熱がそのまま逃げていくことになります。水蒸気は温室効果ガスの一つなので、それが少ないと、温度が下がっていくということです。

問3:山は平野に比べると地形が複雑で、太陽光が当たるところと当たらないところが生じます。すると温度差ができ、空気が移動することになります。この空気の移動が、上昇気流や下降気流になり、天気を変化させるのです。

問4:大雑把に言えば、空気が循環しているからです。例えば、上昇気流が発生すると、水蒸気は雨となり、海に戻ります。

問5:札幌は大陸の東岸にあり、大陸では高気圧が発達しているため、大陸の冷たい空気が札幌に流れ込みます。また、ロンドンは大陸の西岸にあり、大西洋の高気圧から(南から)の暖かい空気が流れ込みます。

 

 

地理の大学入試問題や、中学入試・高校入試の問題で類題があるかもしれません。時間があるときに探してみようと思います。

 

 

2019年上智大(英語)で東大の古い問題が使われていました。

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2019年の上智大の英語を見ていると、記憶に引っかかる文章がありました。

※神学部・総合人間科学部〈心理学科・看護学科〉・経済学部〈経済学科〉・外国語学部〈ドイツ語学科・ポルトガル語学科〉の赤本に載っています。上智大は複数の赤本があるので注意してください。

 

"Two old men sit on a park bench one morning … with a large, wet nose."

という文章で、"wet nose"のところで東大に似たようなのがあったな、と感じました。

 

赤本で調べてみると、1988年の東大第5問に同じ文章が使われた問題を発見しました。

 

1988年に受験生だった人は2019年に約50歳になっていて、大学の教授や准教授になっていれば、出題を担当していてもおかしくありません。1988年(もしくはその後の数年)に東大を受験した人が上智大で出題者をやっていて、自分が受験生のころに解いた問題を参考にしたのかもしれません。

 

出典はVonnegut Kurt "Tom Edison's Shaggy Dog."です。

 あらすじは以下の通りです。

「 フロリダの公園に、ハロルドという老人がいた。その老人は飼い犬を連れて公園に来て、自分の過去の栄光を他人に語るのを日課にしていた。しかし、その話は面白くなく、みんなその老人に近づかないようにしていた。その日は普段見かけない老人がベンチで読書をしていて、その人を話し相手に選んだ。しかし、飼い犬が邪魔をして、話をまともに聞いてくれない。その犬はプラスチックが大好きで、靴のところにあるプラスチックに反応して、嗅ぎまわっていた。犬の鼻が濡れていたこともあり、不愉快に感じ、読書していた老人は立ち去ってしまった。」

 

大学入試の英語の読解問題では、原文を書き換えて出題することがよくあります。どのように変わっているのかを見てみましょう。最初の3段落を題材に、比較してみました。

 

【1文目】

(原文)

Two old men sat on a park bench one morning in the sunshine of Tampa, Florida, one trying to read a book he was plainly enjoying while the other, Harold K. Bullard told him the story of his life in the full, round, head tones of a public address system.

(東大)

Two old men sat on a park bench one morning in the sunshine of Florida resort town ― one trying hard to read a book while the other, Harold K. Bullard, told him the story of his life as a successful businessman in many fields.

上智大)

Two old men sit on a park bench one morning in the sunshine of Tampa, Florida ― one trying to read a book he is plainly enjoying while the other, Harold K. Bullard, tells him the story of his life.

"in the full, round, head tones of a public address system"という本筋とは関係のないところは両大学ともに削っています。上智大は不要部分を単に削除しているようですが、東大は加筆して読みやすいようにしています。上智大は時制を変更しています。

 

【2文目】

(原文)

At their feet lay Bullard's Labrador retriever, who further tormented the aged listener by probing his ankles with a large, wet nose.

(東大)

At their feet lay Bullard's dog, who further tormented the listener by sniffing at his ankles with a large, wet nose.

上智大)

At their feet lay Bullard's Labrador retriever, who further bothers the listener by exploring his ankles with a large, wet nose.

 東大は犬が「ラブラドールレトリバー Labrador retriever」であるという情報を削除しています。「足元を嗅ぎまわる」という表現は、原文は"probing"を用いていますが、東大は"sniffing"、上智大は"exploring"に変更しています。

 

【3文目】

(原文)

Bullard, who had been, before he retired, successful in many fields, enjoyed reviewing his important past.

(東大)

Bullard enjoyed reviewing his important past.

上智大)

Bullard, who had been, before he retired, successful in many fields, enjoys reviewing his past.

 東大は1文目で"a successful businessman"という説明を加筆しているため、ここではその情報を削除しています。上智大は時制を変更している点を除けば、原文のままです。

 

【4、5文目】

(原文)

But he faced the problem that complicates the lives of cannibals, namely: that a single victim cannot be used over and over. Anyone who had passed the time of day with him and his dog refused to share a bench with them again.

(東大)

But he faced the problem that complicated the lives of cannibals* ― namely: that a (   (A)   ) victim cannot be used over and over. Anyone who had passed the time of day with him and his dog refused to share a bench with them again.

上智大)

But anyone who has passed the time of day with him and his dog refuses to share a bench with them again.

 東大は"cannibals"という単語に"a person who eats the flesh of other human beings"と注をつけています。また、

空所(A)を補うのにもっとも適当な1語を次の語群から選び、その記号を記せ。
 (ア) clever
 (イ) delicious
 (ウ) living
 (エ) single
 (オ) suspicious

 という設問をつけています。赤本の答えは(ウ)ですが、これは原文とは異なります。原文を参考にすると(エ)が正解となります。

上智大は4文目を削除しています。

 

【6文目】

(原文)

So Bullard and his dog set out through the park each day in quest of new faces.

(東大)

So they set out each day in quest of new faces.

上智大)

So Bullard and his dog set out through the park each day in search of new faces.

 東大は短く改変しています。上智大は"quest"を"search"に変えています。

 

【7文目】

(原文)

 They had had good luck this morning, for they had found this stranger right away, clearly a new arrival in Florida, still buttoned up tight in heavy stiff collar and necktie and with nothing better to do than read.

(東大)

They had had good luck this morning, for they had found this stranger right away, clearly a new arrival in Florida and with nothing better to do than (   (B)   ).

上智大)

They have had good luck this morning; for they found this stranger right away, clearly a new arrival in Florida, with nothing better to do than read.

 両大学とも"still buttoned up tight in heavy stiff collar and necktie"という本筋に関係ない情報を削除しています。東大は

空所(B)に補うべき1語を記せ。

という設問をつけています。答えは"read"です。

 

今回がそれ以降は検討しませんが、気になる人は赤本などで問題を見てみてください。

 

この文章はペンギンブックスから1988年に出ているようです。東大は時代の流れに乗る出題をしているのに対して、上智大は31年前にも入試問題になっている文章を今更使っています。東大の入試問題が良問と言われるのも納得です。

 

なんとなく書店に行く

よく書店を散歩します。

 

暇な時間に書店に立ち寄ったり、休みの日に書店を巡ったりします。

 

高校生のときは、ほとんど毎日書店に行き、そこで勉強へのやる気をもらっていました。「学習参考書」→「専門書」→「文庫」→「新書」→「雑誌」という流れの中で目に入った本を見ていくのが王道パターンでした。

 

こんな感じで「なんとなく書店に行く」ことを表す言葉を今まで思いつきませんでしたが、最近良い言葉に出会いました。

 

「書店浴」という言葉です。

 

出久根達郎『本の気つけ薬』(河出書房新社)に掲載されています。

引用させていただくと

 美しい言葉が聞きたくなると、私は散歩に出る。書店に入る。すなわち、ここが私の散歩場所である。入口から、ゆっくりと本の背を眺めつつ、奥に向かう。書名を読むだけで、楽しい。私の友人は仕事に行きづまると、書店に飛び込んで、ぼんやりと書棚をながめるという。すると、本の色やタイトルから、打開のヒントを得るという。

 書物はその姿形から、ある種の「気」を発している。私が清新な心持ちになるのも、この「気」の作用である。私はこの散歩を「書店浴」と称している。森林浴の洒落である。

出久根達郎『本の気つけ薬』(河出書房新社) 120、121ページ)

 

この本には、「三省堂書店池袋本店」で書店浴しているときに出会いました。普段はAmazonで本を購入しますが、思わずその場で購入してしまいました。

 

これからも書店浴をして、人生を充実させていこうと思います。

 

 

入試問題鑑賞「ブタの貯金箱」

2019年 群馬県公立高校入試(後期選抜)数学 大問3です。

 

 


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 上のような貯金箱に、100円硬貨3枚と500円硬貨1枚を月に1回ずつ貯金することにした。この貯金をしばらく続けた後、貯金箱の重さを量ったところ、全体の重さは571ℊであった。このとき、貯金箱の中にある硬貨の合計金額を求めなさい。

 ただし、100円硬貨1枚の重さを4.8ℊ、500円硬貨1枚の重さを7ℊとする。また、貯金箱にはもともと硬貨が入っていなかったものとし、貯金箱そのものの重さを250ℊとする。


 

 

独立行政法人造幣局によると、各硬貨の重さは以下の通りです。

500円:7ℊ

100円:4.8ℊ

50円:4ℊ

10円:4.5ℊ

5円:3.75ℊ

1円:1ℊ

参考:「 造幣局 現在製造している貨幣」

https://www.mint.go.jp/operations/production/operations_coin_presently-minted.html

 

 

現実に即した設定になっているところに好感が持てます。

 

問題は以下のページで閲覧できます。

http://www.nc.gunma-boe.gsn.ed.jp/?page_id=721

「村上春樹1Q84」と「2010年センター試験英語(本試)」

村上春樹1Q84』をQ日間で読了しました。

 

 

冒頭は

タクシーのラジオは、FM放送のクラシック音楽番組を流していた。曲はヤナーチェックの『シンフォニエッタ』。渋滞に巻き込まれたタクシーの中で聴くのにうってつけの音楽とは言えないはずだ。 

 (高校入試では冒頭から文学作品のタイトルや著者名を答えさせる問題があります。)

 

さて、この「1Q84」は章立てが次のようになっています。長くなるので「BOOK1」のみ掲載します。

 

第1章:青豆 見かけにだまされないように

第2章:天吾 ちょっとした別のアイデア

第3章:青豆 変更されたいくつかの事実

第4章:天吾 あなたがそれを望むのであれば

第5章:青豆 専門的な技能と訓練が必要とされる職業

第6章:天吾 我々はかなり遠くまで行くのだろうか?

第7章:青豆 蝶を起こさないようにとても静かに

第8章:天吾 知らないところに行って知らない誰かに会う

第9章:青豆 風景が変わり、ルールが変わった

第10章:天吾 本物の血が流れる実物の革命

第11章:青豆 肉体こそが人間にとって神殿である

第12章:天吾 あなたの王国が私たちにももたらされますように

第13章:青豆 生まれながらの被害者

第14章:天吾 ほとんど読者がこれまで目にしたことのないものごと

第15章:青豆 気球に碇をつけるみたいにしっかりと

第16章:天吾 気に入ってもらえてとても嬉しい

第17章:青豆 私たちが幸福になろうが不幸になろうが

第18章:天吾 もうビッグ・ブラザーの出てくる幕はない

第19章:青豆 秘密を分かち合う女たち

第20章:天吾 気の毒なギリヤーク人

第21章:青豆 どれほど遠いところに行こうと試みても

第22章:天吾 時間がいびつなかっちをとって進み得ること

第23章:青豆 これは何かの始まりに過ぎない

第24章:天吾 ここではない世界であることの意味はどこのあるのだろう

 

このように、主人公の「青豆雅美」と「川奈天吾」、それぞれの視点から同じ状況を説明していく構成になっています。BOOK3では「牛河利治」の視点も加わります。

 

1Q84」を読みながら思い出したのが、「2010年センター試験英語(本試)」の第5問です。

 

次の文章は、同一の状況について二人の人物がそれぞれの観点から述べたものである。(以下省略)

 

 これが問題の冒頭です。当時は新傾向とされていました。

 

「Witness A」と「Witness B」の2人の人物が、以下の図の状況をそれぞれの観点から述べた文章を読んで、問いに答えていく問題です。

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2人の人物が説明した状況

 

センター試験の問題は約2年かけて作成される、というのは有名な話です。

 

1Q84」は2009年5月29日に発売されました。とすると、2010年のセンター試験の問題作成者の中に「1Q84」を読んだ人がいる可能性があります。そして、「同一の状況を異なる人物が説明する」という新傾向の問題を出そうと考えたかもしれません。自分の知識や経験が問題作成に影響するのは避けられないはずなので。

 

逆に、先にセンター試験の問題が作成されていたとすれば、「1Q84」の構成を予想したことになり、これはこれですごいです。

 

何となくですが、センター試験はその時代に流行っていることを問題に取り入れようとしていると感じます。気のせいでしょうか。

 

次は、ジョージ・オーウェルの「1984年」を読もうと思います。