佐藤大八郎の方程式 ― 2019年藤田医科大学・推薦

2019年藤田医科大（推薦）で以下の問題が出題されていました。

$x\gt1，y\gt1$ のとき連立方程式\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x^3 = y^4 \\
x^y = y^x
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}の解は， $x=(　　)，y=(　　)$ である．

$x^y = y^x$ という方程式は佐藤大八郎という数学者が研究しました。

今回は、この藤田医科大の解答の代わりに、次の問題の解答を考えてみます。

$x^y = y^x （0\lt x \lt y）$ を満たす有理数 $x，y$ をすべて求めよ．

解答は次のようになります。

$x^y=y^x$ の両辺を $\dfrac{1}{x}$ 乗して

　　 $x^{\frac{y}{x}}=y$

両辺を $x$ で割って
　　 $x^{\frac{y}{x}-1}=\dfrac{y}{x}$

$\dfrac{y}{x}=t$ とおく． $0\lt x\lt y$ より $1\lt\dfrac{y}{x}$ すなわち $t\gt1$ である．また， $t$ は有理数である．
　　 $x^{t-1}=t$
両辺を $\dfrac{1}{t-1}$ 乗して
　　 $x=t^{\frac{1}{t-1}}$
$t^{\frac{1}{t-1}}$ が有理数となるような $t$ を求める．

$p，q \ (p\gt q)$ を互いに素である自然数として， $t=\dfrac{p}{q}$ とおく．

$\left({\dfrac{p}{q}}\right)^{\frac{1}{\frac{p}{q}-1}}=\left({\dfrac{p}{q}}\right)^{\frac{q}{p-q}}\ \ \cdots ①$ が有理数となるような自然数 $p$ と $q \ (p\gt q)$ を求める．

$p-q=r \ (\geq 1)$ とおくと， $p$ と $q$ が互いに素であるから $p-q \ (=r)$ と $q$ も互いに素である．

よって，①が有理数になる条件は，分子 $p$ と分母 $q$ がともに整数の $r$ 乗になることであり， $m，n$ を $m\gt n\geq 1$ を満たす整数として
　　 $p=q+r=m^r，q=n^r$
とおける．
　　 $r=m^r-q=m^r-n^r$
　　 $=(m-n)(m^{r-1}+m^{r-2}n+\cdots+mn^{r-2}+n^{r-1})$

となり、 $(m^{r-1}+m^{r-2}n+\cdots+mn^{r-2}+n^{r-1})$ を②とおく。

$r\geq 2$ と仮定すると，②は $r$ 個の自然数の和であり， $m\geq 2$ であるから， $②\geq r+1$ である． $m-n\geq 1$ であるから，これは左辺が $r$ であることに矛盾する．

よって， $r=1$ であり，このとき
　　 $p=q+1，t=\dfrac{p}{q}=\dfrac{q+1}{q}=1+\dfrac{1}{q}$

したがって， $q$ を任意の自然数として
　　 $x=t^{\frac{1}{t-1}}={\left(1+\dfrac{1}{q} \right)^q}$
　　 $y=tx=\left(1+\dfrac{1}{q} \right)\left(1+\dfrac{1}{q} \right)^q={\left(1+\dfrac{1}{q} \right)^{q+1}}$